Question

13．設總體X～N（μ，σ ²），X₁，X₂，…，X_n是一個樣本，$\overline{X}$，S²分別為樣本均值和樣本方差，試證：E[（$\overline{X}$S²）²]=（$\frac{{σ}^{2}}{n}$+μ²）（+$\frac{2{σ}^{4}}{n-1}$+σ⁴）

Answer 1

分析 由相互獨立事件性質得E[（$\overline{X}$S²）²]=E（${\overline{X}}^{2}$）E[（S²）²]={D（$\overline{X}$）+[E（$\overline{X}$）²}{D（S²）+E[（S²）²]}，由此利用X²分布的性質能證明E[（$\overline{X}$S²）²]=（$\frac{{σ}^{2}}{n}$+μ²）（+$\frac{2{σ}^{4}}{n-1}$+σ⁴）．

解答 證明：∵$\overline{X}$，S²分別是正態(tài)總體N（μ，σ ²）的容量為n的樣本均值和樣本方差，
∴$\overline{X}$和S²相互獨立，∴${\overline{X}}^{2}$與（S²）²也相互獨立，
∴E[（$\overline{X}$S²）²]=E（${\overline{X}}^{2}$）E[（S²）²]
={D（$\overline{X}$）+[E（$\overline{X}$）²}{D（S²）+E[（S²）²]}，*
E（$\overline{X}$）=μ，D（$\overline{X}$）=$\frac{{σ}^{2}}{n}$，
由X²分布的性質得：E[$\frac{（n-1）{S}^{2}}{{σ}^{2}}$]=n-1，D[$\frac{（n-1）{S}^{2}}{{σ}^{2}}$]=2（n-1），
∴E（S²）=σ²，D（S²）=$\frac{2{σ}^{2}}{n-1}$，
將這些結果代入（*），得：
E[（$\overline{X}$S²）²]=（$\frac{{σ}^{2}}{n}$+μ²）（+$\frac{2{σ}^{4}}{n-1}$+σ⁴）．

點評 本題考查正態(tài)分布的數(shù)學期望的相關公式的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意X²分布的性質的合理運用．