Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）+$\sqrt{3}$cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）與直線(xiàn)y=2的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為π，且f（x）-f（-x）=0，若g（x）=sin（ωx+φ），則（　　）

• A． y=g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上遞減
• B． y=g（x）在（0，$\frac{π}{6}$）上遞減
• C． y=g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上遞增
• D． y=g（x）在（0，$\frac{π}{6}$）上遞增

Answer 1

分析 由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=2sin（ωx+φ+$\frac{π}{3}$），由題意可得周期性和奇偶性，分別可得ω和φ值，可得g（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），解2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$結(jié)合選項(xiàng)可解得．

解答 解：由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=sin（ωx+φ）+$\sqrt{3}$cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ+$\frac{π}{3}$），
由與直線(xiàn)y=2的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為π可知函數(shù)f（x）的最小正周期為π，
∴$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2，由f（x）-f（-x）=0可得函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
∴φ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，結(jié)合|φ|＜$\frac{π}{2}$可得φ=$\frac{π}{6}$，∴g（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可解得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
結(jié)合選項(xiàng)可得D為正確答案．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及三角函數(shù)圖象的性質(zhì)，屬中檔題．