Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{sin2x-2{{sin}^2}x}}{sinx}$．
（Ⅰ）求f（x）的定義域及其最大值；
（Ⅱ）求f（x）在（0，π）上的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）解sinx≠0可得f（x）的定義域，化簡(jiǎn)可得f（x）=$2\sqrt{2}cos（x+\frac{π}{4}）$，可得f（x）的最大值；
（Ⅱ）由$2kπ+π≤x+\frac{π}{4}≤2kπ+2π$和x∈（0，π）可得f（x）在（0，π）上的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）由sinx≠0，得x≠kπ（k∈Z）．
∴f（x）的定義域?yàn)閧x∈R|x≠kπ，k∈Z}，
∵$f（x）=\frac{{sin2x-2{{sin}^2}x}}{sinx}$=2cosx-2sinx=$2\sqrt{2}cos（x+\frac{π}{4}）$，
∴f（x）的最大值為$2\sqrt{2}$；
（Ⅱ）∵函數(shù)y=cosx的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ+π，2kπ+2π]（k∈Z）
由$2kπ+π≤x+\frac{π}{4}≤2kπ+2π$，x≠kπ（k∈Z），且x∈（0，π），
∴f（x）在（0，π）上的單調(diào)遞增區(qū)間為$[\frac{3π}{4}，π）$

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最值和單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題．