Question

2．已知F是拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點，⊙M過坐標(biāo)原點和F點，且圓心M到拋物線C的準線距離為$\frac{3}{2}$
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）已知拋物線C上的點N（s，4），過N作拋物線C的兩條互相垂直的弦NA和NB，判斷直線AB是否過定點？并說明理由．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)圓的性質(zhì)得出M到準線的距離，列方程解出p；
（II）求出N（4，4）．設(shè)A，B坐標(biāo)，求出NA，NB，AB的斜率，根據(jù)垂直得出y₁，y₂的關(guān)系，代入AB的點斜式方程化簡即可．

解答 解：（I）拋物線的焦點為F（$\frac{p}{2}$，0），準線方程為x=-$\frac{p}{2}$．
∵⊙M過坐標(biāo)原點和F點，∴M在直線x=$\frac{p}{4}$上．
∴M到拋物線的準線的距離d=$\frac{p}{2}+\frac{p}{4}=\frac{3}{2}$，解得p=2．
∴拋物線方程為y²=4x．
（II）把y=4代入拋物線方程得x=4．即N（4，4）．
設(shè)A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂）．
k_NA=$\frac{{y}_{1}-4}{\frac{{{y}_{1}}^{2}-16}{4}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+4}$，k_NB=$\frac{{y}_{2}-4}{\frac{{{y}_{2}}^{2}-16}{4}}$=$\frac{4}{{y}_{2}+4}$，k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$．
∵直線NA和直線NB互相垂直，∴$\frac{4}{{y}_{1}+4}•\frac{4}{{y}_{2}+4}=-1$，即y₁y₂=-4（y₁+y₂）-32．
∴直線AB的方程為y-y₁=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$（x-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$），即y=$\frac{4x}{{y}_{1}+{y}_{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}_{\;}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{4x-32}{{y}_{1}+{y}_{2}}$-4，
即AB方程為y+4=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$（x-8）．
∴直線AB過定點（8，-4）．

點評 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．