Question

7．已知點(diǎn)A₁，A₂的坐標(biāo)分別為（-2，0），（2，0）．直線A₁M，A₂M相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是$-\frac{3}{4}$．
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)A（1，t）（t＞0）是軌跡C上的定點(diǎn)，E，F(xiàn)是軌跡C上的兩個動點(diǎn)，如果直線AE與直線AF的斜率存在且互為相反數(shù)，求直線EF的斜率．

Answer 1

分析 （I）設(shè)M（x，y），根據(jù)斜率關(guān)系列方程化簡即可；
（II）設(shè)AE的斜率為k，則AF的斜率為-k，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出E，F(xiàn)的坐標(biāo)，代入斜率公式化簡得出答案．

解答 解：（I）設(shè)M（x，y），則k_AM=$\frac{y}{x+2}$，k_BM=$\frac{y}{x-2}$．
∴$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-4}=-\frac{3}{4}$，即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
∴點(diǎn)M的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（II）由橢圓方程得E（1，$\frac{3}{2}$）．
設(shè)直線AE方程為y=k（x-1）+$\frac{3}{2}$．則直線AF的方程為y=-k（x-1）+$\frac{3}{2}$．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）+\frac{3}{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消元得：（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+4（$\frac{3}{2}$-k）²-12=0，
設(shè)E（x_E，y_E），F(xiàn)（x_F，y_F），
∵點(diǎn)A（1，$\frac{3}{2}$）在橢圓上，
∴x_E=$\frac{4（\frac{3}{2}-k）^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，y_E=k（x_E-1）+$\frac{3}{2}$．
同理可得：x_F=$\frac{4（\frac{3}{2}+k）^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，y_F=-k（x_F-1）+$\frac{3}{2}$．
∵x_E+x_F=$\frac{4（\frac{3}{2}-k）^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{4（\frac{3}{2}+k）^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{8{k}^{2}-6}{4{k}^{2}+3}$，x_E-x_F=$\frac{4（\frac{3}{2}-k）^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$-$\frac{4（\frac{3}{2}+k）^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{24k}{4{k}^{2}+3}$．
∴k_EF=$\frac{{y}_{E}-{y}_{F}}{{x}_{E}-{x}_{F}}$=$\frac{k（{x}_{E}+{x}_{F}）-2k}{{x}_{E}-{x}_{F}}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了軌跡方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．