Question

16．已知拋物線E：x²=4y的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)．
（1）若原點(diǎn)為O，求△OAB面積的最小值；
（2）過A，B作拋物線E的切線，分別為l₁，l₂，若l₁與l₂交于點(diǎn)P，當(dāng)l變動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)直線AB的方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得△OAB面積的最小值；
（2）求導(dǎo)，利用點(diǎn)斜式方程，求得求得切線l₁，l₂的方程，聯(lián)立求得P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得$\frac{\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}}{|\overrightarrow{PF}{|}^{2}}$的值．

解答 解：（1）易知F（0，1）．由題意可知，直線AB的斜率存在，可設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，
將直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，整理得：x²-4kx-4=0，-----------（2分）
設(shè)A（x₁，$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}$），
則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．-----------------（4分）
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×丨OF丨|x₁-x₂|=$\frac{1}{2}$×|x₁-x₂|=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{16{k}^{2}+16}$≥2，
當(dāng)k=0時(shí)，△AOB的面積最小，最小值為2．----------------（6分）
（2）由x²=4y，得y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，則y′=$\frac{x}{2}$，
∴l(xiāng)₁的方程為y-$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{1}}{2}$（x-x₁），即y=$\frac{{x}_{1}x}{2}$-$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$．①
同理可得l₂的方程為y=$\frac{{x}_{2}x}{2}$-$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}$，②（8分）
由①②得x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=2k，y=$\frac{{x}_{1}x}{2}$-$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$=-1，----------------（10分）
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2k，-1），
由k∈R，則P點(diǎn)的軌跡方程y=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．