Question

4．已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若$\frac{c}$=$\frac{cosA}{1+cosC}$，則sin（2A+$\frac{π}{6}$）的取值范圍是（　�。�

• A． （-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）
• B． （-$\frac{1}{2}$，1]
• C． （$\frac{1}{2}$，1]
• D． [-1，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 將已知的等式變形，能夠得到A的范圍，然后求sin（2A+$\frac{π}{6}$）取值范圍．

解答 解：因?yàn)?\frac{c}$=$\frac{cosA}{1+cosC}$，由正弦定理得到$\frac{sinB}{sinC}=\frac{cosA}{1+cosC}$，
所以sinCcosA=sin（A+C）（1+cosC），
展開整理得到cosC（sinA+sinB）=0，因?yàn)閟inA+sinB≠0，所以cosC=0，所以C=$\frac{π}{2}$，
所以A+B=$\frac{π}{2}$，所以0＜A＜$\frac{π}{2}$，所以$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，所以-$\frac{1}{2}$＜sin（2A+$\frac{π}{6}$）≤1；
所以sin（2A+$\frac{π}{6}$）的取值范圍是（-$\frac{1}{2}$，1]；
故選B

點(diǎn)評 本題考查了正弦定理的運(yùn)用以及三角函數(shù)值域的求法；關(guān)鍵是由已知求出A的范圍．