Question

6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA=AB，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是BC，PB的中點．
（1）證明：EF∥平面PCD；
（2）求EF與平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)PA=AB=2，以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明EF∥平面PCD．
（2）求出$\overrightarrow{EF}$和平面PAD的法向量，利用向量法能求出EF與平面PAD所成角的正弦值．

解答 （1）證明：設(shè)PA=AB=2，
∵在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA=AB，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是BC，PB的中點．
∴以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，
由題意得E（2，1，0），A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），
F（1，0，1），C（2，2，0），D（0，2，0），
$\overrightarrow{EF}$=（-1，-1，1），$\overrightarrow{PC}$=（2，2，-2），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），
設(shè)平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=2x+2y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=2y-2z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
∵$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}$=0-1+1=0，EF?平面PCD，
∴EF∥平面PCD．
（2）解：設(shè)EF與平面PAD所成角為θ，
∵$\overrightarrow{EF}$=（-1，-1，1），平面PAD的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
∴sinθ=|cos＜$\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{m}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{m}|}$|=|$\frac{-1}{\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴EF與平面PAD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．