Question

2．已知動點M（x，y）到直線ι：x=4的距離是它到點N（1，0）的距離的2倍．
（1）求動點M的軌跡C的方程；
（2）過點P（0，3）的直線m與軌跡C交于A，B兩點，若A是PB的中點，求點A的坐標．

Answer 1

分析 （1）由已知得|x-4|=2$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}$，由此能求出動點M的軌跡方程．
（2）P（0，3），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由A是PB的中點，得2x₁=x₂，設直線m的方程為y=kx+3，代入橢圓，得（3+4k²）x²+24kx+24=0，由此能求出點A的坐標．

解答 解：（1）點M（x，y）到直線x=4的距離是它到點N（1，0）的距離的2倍，
則|x-4|=2$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}$，即（x-4）²=4（x-1）²+4y²，整理得$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
所以，動點M的軌跡是橢圓，方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）P（0，3），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由A是PB的中點，得2x₁=x₂，橢圓的上下頂點坐標分別是（0，3）和（0，-3），
經檢驗直線m不經過這兩點，即直線m的斜率k存在，
設直線m的方程為y=kx+3，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得$（3+4{k^2}）{x^2}+24kx+24=0，{x_1}+{x_2}=-\frac{24k}{{3+4{k^2}}}$，
所以$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{5}{2}$，得$k=±\frac{3}{2}$，
設直線m的方程為$y=±\frac{3}{2}x+3$，則$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{1}={x}_{2}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{24k}{3+4{k}^{2}}}\end{array}\right.$，得$A（±1，\frac{3}{2}）$．

點評 本題考查點的軌跡方程的求法，考查點的坐標的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意兩點間距離公式、橢圓性質、韋達定理的合理運用．