【題目】如圖,四邊形ABCD為正方形,,且,平面BCE.
(1)證明:平面平面BDFE;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析 (2)
【解析】
(1)先推導(dǎo)出,,證得平面ABCD,進而得到,由此能力證明平面BDFE,從而得到平面平面BDFE;
(2)以D為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,分別求得平面的法向量,結(jié)合向量的夾角公式,即可求解.
(1)由題意,因為四邊形ABCD為正方形,.
,,.
又平面BCE,.
,平面ABCD,.
又,平面BDFE,
平面AEC,平面平面BDFE.
(2)平面ABCD,,所以平面ABCD,
以D為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,令,
則,,,,
所以,,,
設(shè)平面AFC的法向量為,則,
令,則,所以,
設(shè)平面EFC的法向量為,則,
令,則,,所以,
.
因為二面角為銳角,所以二面角的余弦值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦距為,且經(jīng)過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)是橢圓與軸正半軸的交點,上是否存在兩點,使得是以為直角頂點的等腰直角三角形?若存在,請說明滿足條件的的個數(shù);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在梯形中,,,四邊形
為矩形,平面平面,.
(I)求證:平面;
(II)點在線段上運動,設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為,
試求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一次公里的自行車個人賽中,25名參賽選手的成績(單位:分鐘)的莖葉圖如圖所示:
(1)現(xiàn)將參賽選手按成績由好到差編為1~25號,再用系統(tǒng)抽樣方法從中選取5人,已知選手甲的成績?yōu)?5分鐘,若甲被選取,求被選取的其余4名選手的成績的平均數(shù);
(2)若從總體中選取一個樣本,使得該樣本的平均水平與總體相同,且樣本的方差不大于7,則稱選取的樣本具有集中代表性,試從總體(25名參賽選手的成績)選取一個具有集中代表性且樣本容量為5的樣本,并求該樣本的方差.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大型工廠有臺大型機器,在個月中,臺機器至多出現(xiàn)次故障,且每臺機器是否出現(xiàn)故障是相互獨立的,出現(xiàn)故障時需名工人進行維修.每臺機器出現(xiàn)故障的概率為.已知名工人每月只有維修臺機器的能力,每臺機器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時有工人維修,就能使該廠獲得萬元的利潤,否則將虧損萬元.該工廠每月需支付給每名維修工人萬元的工資.
(1)若每臺機器在當(dāng)月不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時有工人進行維修,則稱工廠能正常運行.若該廠只有名維修工人,求工廠每月能正常運行的概率;
(2)已知該廠現(xiàn)有名維修工人.
(ⅰ)記該廠每月獲利為萬元,求的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(ⅱ)以工廠每月獲利的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù),試問該廠是否應(yīng)再招聘名維修工人?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形,,側(cè)棱底面,,點為的中點,作,交于點.
(1)求證:平面;
(2)求證:;
(3)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖四棱錐中,底面,是邊長為2的等邊三角形,且,,點是棱上的動點.
(I)求證:平面平面;
(Ⅱ)當(dāng)線段最小時,求直線與平面所成角的正弦值.
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