Question

【題目】已知橢圓的焦距為，且經(jīng)過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)是橢圓與軸正半軸的交點，上是否存在兩點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請說明滿足條件的的個數(shù)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2）存在，3個

【解析】

（1）根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可.

（2）首先設(shè)所在直線的方程為，直線所在的方程為.聯(lián)立直線方程和橢圓方程，解方程求得的坐標(biāo)，同理求出的坐標(biāo).根據(jù)，解方程即可求出的值，再討論的值，即可判斷符合三角形的個數(shù).

（1）由題，解得，.

所以橢圓的方程為.

（2）存在，理由如下：

由題意可知，直角邊不可能垂直或平行于軸，

故可設(shè)所在直線的方程為，

不妨設(shè)，則直線所在的方程為.

聯(lián)立方程消去，并整理得，

解得，

將代入可得，

所以點的坐標(biāo)為.

所以.

同理可得，

由，得，

所以，則，

解得或.

當(dāng)斜率時，斜率；

當(dāng)斜率時，斜率；

當(dāng)斜率時，斜率.

綜上所述，符合條件的三角形有3個.