【題目】如圖1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn),將△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,連接AE,AC,DE,得到如圖2所示的幾何體.
(Ⅰ)求證:AB⊥平面ADC;
(Ⅱ)若AD=2,直線CA與平面ABD所成角的正弦值為,求二面角E-AD-C的余弦值.
【答案】(Ⅰ)見解析; (Ⅱ).
【解析】試題分析:(1)有平面平面,證得,再根據(jù)線面垂直的判定定理,即可作出證明;
(Ⅱ)現(xiàn)證得為直線與平面所成的角,在中,得到的值,即可求解,建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量即可求解二面角的大小.
試題分析:(Ⅰ)證明:因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,
又DC⊥BD所以DC⊥平面ABD,所以DC⊥AB,
又AD⊥AB ,所以AB⊥平面ADC
(Ⅱ)因CD⊥平面ABD,所以∠CAD為直線CA與平面ABD所成的角,
CD⊥平面ABD所以CD⊥AD
則
則,依題意得 所以,
即,所以
取BD的中點(diǎn)O,連結(jié)AO,EO,因?yàn)?/span>,∴AO⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,∴AO⊥平面BCD
如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,
則, , , , ,
由(1)可知AB⊥平面ADC,則平面ADC的法向量,
設(shè)平面ADE的法向量, , ,
則,即,令,得,
所以,所以, ,由圖可知二面角為銳二面角,
所以二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形中, // , ⊥, ⊥, 點(diǎn)是邊的中點(diǎn), 將△沿折起,使平面⊥平面,連接, , , 得到如
圖所示的空間幾何體.
(Ⅰ)求證: ⊥平面;
(Ⅱ)若,求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四棱錐的底面為平行四邊形,且,, 分別為中點(diǎn),過作平面分別與線段相交于點(diǎn).
(Ⅰ)在圖中作出平面使面‖ (不要求證明);
(II)若,在(Ⅰ)的條件下求多面體的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某研究小組在電腦上進(jìn)行人工降雨模擬實(shí)驗(yàn),準(zhǔn)備用A、B、C三種人工降雨方式分別對(duì)甲、乙、丙三地實(shí)施人工降雨,其實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下
方式 | 實(shí)施地點(diǎn) | 大雨 | 中雨 | 小雨 | 模擬實(shí)驗(yàn)次數(shù) |
A | 甲 | 2次 | 6次 | 4次 | 12次 |
B | 乙 | 3次 | 6次 | 3次 | 12次 |
C | 丙 | 2次 | 2次 | 8次 | 12次 |
假定對(duì)甲、乙、丙三地實(shí)施的人工降雨彼此互不影響,且不考慮洪澇災(zāi)害,請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):
(1)求甲、乙、丙三地都恰為中雨的概率;
(2)考慮不同地區(qū)的干旱程度,當(dāng)雨量達(dá)到理想狀態(tài)時(shí),能緩解旱情,若甲、丙地需中雨或大雨即達(dá)到理想狀態(tài),乙地必須是大雨才達(dá)到理想狀態(tài),記“甲、乙、丙三地中緩解旱情的個(gè)數(shù)”為隨機(jī)變量,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知命題: ,命題 .
(1)若命題為真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若命題為真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若命題“”為真命題,且命題“”為假命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知⊙: 與⊙: ,以, 分別為左右焦點(diǎn)的橢圓: 經(jīng)過兩圓的交點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ), 分別為橢圓的左右頂點(diǎn), , , 是橢圓上非頂點(diǎn)的三點(diǎn),若∥, ∥,試問的面積是否為定值?若是,求出這個(gè)定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》中有這樣一則問題:“今有良馬與弩馬發(fā)長(zhǎng)安,至齊,齊去長(zhǎng)安三千里,良馬初日行一百九十三里,日增一十三里;弩馬初日行九十七里,日減半里,良馬先至齊,復(fù)還迎弩馬.”則現(xiàn)有如下說(shuō)法:
①弩馬第九日走了九十三里路;
②良馬前五日共走了一千零九十五里路;
③良馬和弩馬相遇時(shí),良馬走了二十一日.
則以上說(shuō)法錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是( )個(gè)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=1+ .
(1)求f(x)的定義域;
(2)判斷f(x)的奇偶性,并證明;
(3)求f(x)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=1, ,其中n∈N*.
(1)設(shè),求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,并求出{an}的通項(xiàng)公式.
(2)設(shè),數(shù)列{cncn+2}的前n項(xiàng)和為Tn,是否存在正整數(shù)m,使得對(duì)于n∈N*,恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明.
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