Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1＝1， ，其中n∈N*．

（1）設，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求出{an}的通項公式．

（2）設，數(shù)列{cncn+2}的前n項和為Tn，是否存在正整數(shù)m，使得對于n∈N*，恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請說明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3

【解析】試題分析：

(1)結合遞推關系可證得bn+1-bn2，且b1＝2，即數(shù)列{bn}是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，據(jù)此可得數(shù)列的通項公式為．

(2)結合通項公式裂項有求和有．據(jù)此結合單調(diào)性討論可得正整數(shù)m的最小值為3．

試題解析：

（1）證明：bn+1-bn ．

又由a1＝1，得b1＝2，所以數(shù)列{bn}是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，所以bn＝2+(n-1)×2＝2n，由，得．

（2）解： ， 所以．

依題意，要使對于n∈N*恒成立，只需，解得m≥3或m≤-4．又m＞0，所以m≥3，所以正整數(shù)m的最小值為3．