Question

已知橢圓C₁和拋物線C₂有公共焦點F(1，0)，C₁的中心和C₂的頂點都在坐標原點，過點M(4，0)的直線l與拋物線C₂分別相交于A ，B兩點．
(1)如圖所示，若，求直線l的方程；
(2)若坐標原點O關于直線l的對稱點P在拋物線C₂上，直線l與橢圓C₁有公共點，求橢圓C₁的長軸長的最小值．

Answer 1

（1）；（2）長軸長的最小值為_.

解析試題分析：（1）首先求得拋物線方程為 _.
設直線方程為，并設
利用，得到 ；
聯(lián)立，可得，應用韋達定理得到 ，
從而得到，求得直線方程.
（2）可求得對稱點，
代入拋物線中可得：，直線方程為，考慮到對稱性不妨取,
橢圓設為聯(lián)立直線、橢圓方程并消元整理可得，
由，可得 ，即得解.
（1）由題知拋物線方程為 _。                 2分
設直線方程為，并設
因為，所以.
聯(lián)立，可得，有            4分
解得：，所以直線方程為：  6分 
（2）可求得對稱點，            8分
代入拋物線中可得：，直線方程為，考慮到對稱性不妨取,
設橢圓方程為，聯(lián)立直線方程和橢圓方程并消元整理得，       10分
因為橢圓與直線有交點，所以，
即：，解得        12分
即
∴長軸長的最小值為._.                        13分
考點：拋物線及其標準方程，橢圓方程，直線與圓錐曲線的位置關系.