Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=xlnx+1.

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）求函數(shù)f（x）的在區(qū)間[t，t+1]（t>0）的最小值.

Answer 1

【答案】（1）f（x）的遞減區(qū)間為（0，），遞增區(qū)間（，+∞）；（2）當(dāng)t∈（0，]時(shí)，f（x）的最小值為1，當(dāng)t∈（，+∞）時(shí)， f（x）的最小值為tlnt+1.

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分別解導(dǎo)函數(shù)大于零和小于零不等式得解；

（2）結(jié)合（1）已得單調(diào)性，分類討論求最值.

（1）f（x）=xlnx+1， =lnx+1=lnx﹣ln，x>0，

由得，由得

當(dāng)x∈（0，）時(shí)，f（x）遞減；

當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，f（x）遞增；

故f（x）的遞減區(qū)間為（0，），遞增區(qū)間（，+∞）；

（2）由（1）知，當(dāng)x∈（0，）時(shí)，f（x）遞減；當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，f（x）遞增；

f（x）的最小值為f（）=1，

當(dāng)t∈（0，]時(shí)，t+1∈[1，1]時(shí)，f（x）在間[t，t+1]（t>0）的最小值為f（）=1，

當(dāng)t∈（，+∞）時(shí)，t+1∈（1，+∞），f（x）在間[t，t+1]遞增，f（x）的最小值為f（t）=tlnt+1.

綜上所述：當(dāng)t∈（0，]時(shí)，f（x）的最小值為1，當(dāng)t∈（，+∞）時(shí)， f（x）的最小值為tlnt+1.