Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，點（）在橢圓E：（a＞0，b＞0），橢圓E的離心率為，直線l過左焦點F且與橢圓E交于A、B兩點

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若動直線l與x軸不重合，在x軸上是否存在定點P，使得PF始終平分∠APB？若存在，請求出點P的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）存在，P（﹣4，0）

【解析】

（1）根據(jù)，a2＝b2+c2和點（）在橢圓E上，可得；（2）假設(shè)存在定點P（t，0）滿足題意，設(shè)直線l的方程x＝my﹣2，A（x，y），B（x'，y'），

（1）由題意得：e，a，1，且a2＝b2+c2，解得：a2＝8，b2＝4，

所以橢圓E的方程：1；

（2）假設(shè)存在定點P（t，0）滿足題意，由（1）得左焦點F（﹣2，0），

設(shè)直線l的方程：x＝my﹣2，A（x，y），B（x'，y'），

聯(lián)立與橢圓的方程整理得：（2+m2）y2﹣4my﹣4＝0，

∴y+y'，yy'，

PF始終平分∠APB知：kAP+kBP＝0，

所以kAP+kBP0，

又x＝my﹣2，x'＝my'﹣2，

∴2myy'﹣（t+2）（y+y'）＝0，

即2m（t+2）0，

即（t+4）m＝0，

∴t＝﹣4，

所以存在定點P（﹣4，0）滿足題意