Question

若函數(shù)f（x）=x³-ax（a＞0）的零點(diǎn)都在區(qū)間[-10，10]上，則使得方程f（x）=1000有正整數(shù)解的實(shí)數(shù)a的取值的個數(shù)為______．

Answer 1

∵函數(shù)f（x）=x³-ax（a＞0）的零點(diǎn)都在區(qū)間[-10，10]上，又f（x）=x³-ax=x（x²-a）=0，令f（x）=0，∴x=0，或x=±

a

．
函數(shù)f（x）=x³-ax（a＞0）的零點(diǎn)都在區(qū)間[-10，10]上，∴

a

≤10，∴a≤100．
∵f′（x）=3x²-a，令f′（x）=0，解得 x=±

a 3

．
當(dāng)x＜-

a 3

，或 x＞

a 3

時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）是增函數(shù)．當(dāng)-

a 3

＜x＜

a 3

時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）是減函數(shù)．
故當(dāng)x=-

a 3

時，函數(shù)取得極大值為f（-

a 3

）=

2a a

3 3

≤

2000

3 3

．
∵

2000

3 3

＜1000，∴f（10）=1000-10a＜1000，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及f（x）=x³-ax（a＞0），
知方程f（x）=1000有正整數(shù)解在區(qū)間[10，+∞）上，此時令x³-ax=1000，可得 x²-a=

1000

x

．
此時有a=x²-

1000

x

，由于x為大于10的整數(shù)，由上知 x²-

1000

x

≤100，令x=11，12，13時，不等式成立，
當(dāng)x=14時，有142-

1000

4

=196-71

6

14

＞100，故可得a的值有三個，
故答案為 3．