Question

【題目】已知無(wú)窮數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且滿足：，，其中，常數(shù)．

（1）求證：是一個(gè)定值；

（2）若數(shù)列是一個(gè)周期數(shù)列（存在正整數(shù)，使得對(duì)任意，都有成立，則稱為周期數(shù)列，為它的一個(gè)周期），求該數(shù)列的最小周期；

（3）若數(shù)列是各項(xiàng)均為有理數(shù)的等差數(shù)列，（），問(wèn)：數(shù)列中的所有項(xiàng)是否都是數(shù)列中的項(xiàng)？若是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不是，請(qǐng)舉出反例．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析 (2) 最小周期為．(3)不是，見(jiàn)解析

【解析】

（1）由rSn＝anan+1﹣1，利用迭代法得：ran+1＝an+1（an+2﹣an），由此能夠證明an+2﹣an為定值．

（2）當(dāng)n＝1時(shí)，ra＝aa2﹣1，故a2，根據(jù)數(shù)列是隔項(xiàng)成等差，寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再由r＞0和r＝0兩種情況進(jìn)行討論，能夠求出該數(shù)列的周期．

（3）因?yàn)閿?shù)列{an}是一個(gè)有理等差數(shù)列，所以a+a＝r＝2（r），化簡(jiǎn)2a2﹣ar﹣2＝0，解得a是有理數(shù)，由此入手進(jìn)行合理猜想，能夠求出Sn．

（1）由 ①， 得 ②

②－①，得，

因?yàn)?/span>，所以（定值）．

（2）當(dāng)時(shí)，，故，，

根據(jù)（1）知，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，公差都是，所以，

，，

當(dāng)時(shí)，的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)都是遞增的，不可能是周期數(shù)列，

所以，所以，，所以，數(shù)列是周期數(shù)列，其最小周期為．

（3）因?yàn)閿?shù)列是有理項(xiàng)等差數(shù)列，由，，，得

，整理得，

得（負(fù)根舍去），

因?yàn)?/span>是有理數(shù)，所以是一個(gè)完全平方數(shù)，設(shè)（），

當(dāng)時(shí)，（舍去）．

當(dāng)時(shí)，由，得，

由于，，所以只有，符合要求，

此時(shí)，數(shù)列的公差，所以（）．

對(duì)任意，若是數(shù)列中的項(xiàng)，令，即，

則，時(shí)，，時(shí)，，

故不是數(shù)列中的項(xiàng)．