Question

【題目】已知雙曲線 C 經(jīng)過點(diǎn) (2,3)，它的漸近線方程為 y = ±．橢圓 C1與雙曲線 C有相同的焦點(diǎn)，橢圓 C1的短軸長(zhǎng)與雙曲線 C 的實(shí)軸長(zhǎng)相等．

（1）求雙曲線 C 和橢圓 C1 的方程；

（2）經(jīng)過橢圓 C1 左焦點(diǎn) F 的直線 l 與橢圓 C1 交于 A、B 兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn) D ，使得無論 AB 怎樣運(yùn)動(dòng)，都有∠ADF = ∠BDF ？若存在，求出 D 點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）； （2）存在點(diǎn)D

【解析】

（1）雙曲線的方程為：，則．設(shè)橢圓的方程；橢圓的短軸長(zhǎng)與雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)相等，橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)即可得、、

（2）直線垂直軸時(shí)，、兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，要使，則點(diǎn)必在軸上，設(shè)，直線不垂直軸時(shí)，的方程設(shè)為：，設(shè)，，，，聯(lián)立得．要使，即直線、的斜率互為相反數(shù)，即，求得

解：（1）雙曲線方程為：，則．

雙曲線的方程為．

設(shè)橢圓的方程；

橢圓的短軸長(zhǎng)與雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)相等，

橢圓的短軸長(zhǎng)為，橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，

即，，橢圓的方程為：；

（2）直線垂直軸時(shí)，、兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，

，要使，則點(diǎn)必在軸上，

設(shè)，直線不垂直軸時(shí)，的方程設(shè)為：，

設(shè)，，，，聯(lián)立得．

．

，直線、的斜率互為相反數(shù)，

即，

時(shí)恒成立．

時(shí)，；

存在定點(diǎn)，，使得無論怎樣運(yùn)動(dòng)，都有．