Question

17．已知數列{a_n}滿足a₁=511，4a_n=a_n-1-3（n≥2）．
（Ⅰ）求證：數列{a_n+1}為等比數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令b_n=|log₂（a_n+1）|，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （I）由${a_n}=\frac{1}{4}{a_{n-1}}-\frac{3}{4}$知：${a_n}+1=\frac{1}{4}（{a_{n-1}}+1）$，利用等比數列的通項公式即可得出；
（ II）b_n=|11-2n|，設數列{11-2n}的前n項和為T_n，則${T_n}=10n-{n^2}$．當n≤5時，S_n=T_n；當n≥6時，S_n=2S₅-Tn．

解答 （I）證明：由${a_n}=\frac{1}{4}{a_{n-1}}-\frac{3}{4}$知：${a_n}+1=\frac{1}{4}（{a_{n-1}}+1）$，
∴數列{a_n+1}是以512為首項，$\frac{1}{4}$為公比的等比數列．
則${a_n}+1={2^{11-2n}}$，${a_n}={2^{11-2n}}-1$．
（ II）解：b_n=|11-2n|，
設數列{11-2n}的前n項和為T_n，則${T_n}=10n-{n^2}$，
當n≤5時，${S_n}={T_n}=10n-{n^2}$；
當n≥6時，${S_n}=2{S_5}-{T_n}={n^2}-10n+50$；
所以${S_n}=\left\{\begin{array}{l}10n-{n^2}，n≤5\\{n^2}-10n+50，n≥6\end{array}\right.$．

點評 本題考查了等比數列與等差數列的通項公式及其前n項和公式、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．