Question

6．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=2a_n-2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=2a_n-2．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2a₁-2，得a₁=2；當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2，
可得a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1（n≥2），
可知：數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
故a_n=2ⁿ．
（2）na_n=n•2ⁿ，
由已知得：T_n=1×2+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
∴2T_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減得：-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．