Question

若函數(shù)f（x）=log_a（x+

x2+2a2

）是奇函數(shù)，f（x）=sin（2x+θ）（0＜θ＜π），將y=f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位長度，所得圖象關(guān)于y軸對稱，則a²θ=

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的圖象與圖象變化

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題可先由奇函數(shù)的性質(zhì)求出a的值，再由三角函數(shù)圖象的平移后的特征得到θ滿足的關(guān)系式，由θ的已知范圍確定θ的值，從而得到本題的結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=log_a（x+

x2+2a2

）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）．
即loga(-x+

(-x)2+2a2

)=-loga(x+

x2+2a2

)對于定義域中的x恒成立．
∴(

x2+2a2

-x)(

x2+2a2

+x)=1，
∴a2=

1

2

．
∵f（x）=sin（2x+θ）（0＜θ＜π），
∴將y=f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位長度，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為：y=sin[2(x+

π

6

)+θ]．
∵將y=f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位長度，所得圖象關(guān)于y軸對稱，
∴當(dāng)x=0時，函數(shù)為：y=sin[2(x+

π

6

)+θ]=sin(

π

3

+θ)=±1．
∵0＜θ＜π，∴y=sin（

π

3

+θ）=1，
∴θ=

π

6

．
∴a2θ=

1

2

×

π

6

=

π

12

．
故答案為：

π

12

．

點評：本題考查了函數(shù)奇偶性和三角函數(shù)圖象的平移知識，思維量不太大，屬于中檔題．