Question

12．已知A（-2a，0），B（2a，0）（a＞0），|$\overrightarrow{AP}$|=2a，D為線段BP的中點．
（1）求點D的軌跡E的方程；
（2）拋物線C以坐標(biāo)原點為頂點，以軌跡E與x軸正半軸的交點F為焦點，過點B的直線與拋物線C交于M，N兩點，試判斷坐標(biāo)原點與以MN為直徑的圓的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）利用代入法求點D的軌跡E的方程；
（2）設(shè)直線MN的方程為x=ty+2a聯(lián)立得y²-4aty-8a²=0，利用韋達(dá)定理，證明$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$＜0，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1））設(shè)D（x，y），P（m，n）$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2a+m}{2}\\ y=\frac{n}{2}\end{array}\right.$…（1分）
所以$\left\{\begin{array}{l}m=2x-2a\\ n=2y\end{array}\right.$…（2分）
又（m+2a）²+n²=4a²…（3分）
所以所求方程為x²+y²=a²…（4分）
（2）軌跡E與x軸正半軸的交點F（a，0）…（5分）
拋物線C的方程為y²=4ax…（6分）
設(shè)$M（\frac{y_1^2}{4a}，{y_1}）$，$N（\frac{y_2^2}{4a}，{y_2}）$，設(shè)直線MN的方程為x=ty+2a
聯(lián)立得y²-4aty-8a²=0，
則$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=4at\\{y_1}{y_2}=-8{a^2}\end{array}\right.$…（8分）
所以$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=\frac{y_1^2}{4a}•\frac{y_2^2}{4a}+{y_1}{y_2}=-4{a^2}＜0$…（10分）
所以坐標(biāo)原點在以MN為直徑的圓內(nèi)…（12分）

點評 本題考查代入法求軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，正確運用向量知識、韋達(dá)定理是關(guān)鍵．