Question

數(shù)列{a_n}首項(xiàng)a₁=1，前n項(xiàng)和S_n與a_n之間滿足an=

2Sn2

2Sn-1

(n≥2)
（1）求證：數(shù)列{

1

Sn

}是等差數(shù)列   
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義，將條件求an=

2Sn2

2Sn-1

(n≥2)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可證明數(shù)列{

1

Sn

}是等差數(shù)列   
（2）根據(jù){

1

Sn

}是等差數(shù)列 即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答： 解：（1）∵當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=

2 S 2 n

2Sn-1

，
整理得：S_n-1-S_n=2S_n?S_n-1，
由題意知S_n≠0，
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，
即{

1

Sn

}是以

1

S1

=

1

a1

=1為首項(xiàng)，公差d=2的等差數(shù)列．
（2）∵{

1

Sn

}是以

1

S1

=

1

a1

=1為首項(xiàng)，公差d=2的等差數(shù)列．
∴

1

Sn

=1+2(n-1)=2n-1，
∴Sn=

1

2n-1

，n∈N•．，
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=

1

2n-1

-

1

2(n-1)-1

=-

2

(2n-1)(2n-3)

，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1不滿足a_n，
∴an=

1，n=1 - 2 (2n-1)(2n-3) ，n≥2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)判斷，要求熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力．