Question

11．將下列曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，并說明曲線的形狀，
（1）ρ=4sinθ；
（2）（ρ-1）（θ-π）=0；
（3）ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=1；
（4）$θ=\frac{π}{4}$（ρ∈R）；
（5）ρcosθ=2sin2θ；
（6）ρ²cosθ-ρ=0．

Answer 1

分析 先由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，根據(jù)曲線的極坐標方程求出曲線的直角坐標方程，再由曲線的直角坐標方程判斷曲線的形狀．

解答 解：（1）∵ρ=4sinθ，∴ρ²=4ρsinθ，
∴直角坐標方程為x²+y²-4y=0，即x²+（y-2）²=4，是以（0，2）為圓心，以2為半徑的圓；
（2）∵（ρ-1）（θ-π）=0，∴ρ=1或θ=π，
∴直角坐標方程為x²+y²=1或y=0（x≤0），是一個以坐標原點為圓心的單位圓或x軸的正半軸；
（3）∵ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=1，∴$ρ（cosθcos\frac{π}{3}+sinθsin\frac{π}{3}）$=$\frac{1}{2}ρcosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ$=1，
∴直角坐標方程為x+$\sqrt{3}y$-2=0，是一條直線；
（4）∵$θ=\frac{π}{4}$（ρ∈R），∴直角坐標方程為y=x，是一條直線；
（5）∵ρcosθ=2sin2θ=2sinθcosθ，∴cosθ=0或ρ=2sinθ，
直角坐標方程為x=0或x²+y²=4y，是y軸所在直線或是以（0，2）為圓心，以2為半徑的圓；
（6）∵ρ²cosθ-ρ=0，ρ=0或ρcosθ=1，
直角坐標方程為x=y=0或x=1，是坐標原點或一條直線．

點評 本題考查曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，并判斷曲線的形狀，是基礎題，解題時要注意極坐標方程和直角坐標方程互化公式的合理運用．