Question

已知函數(shù)f(x)=ax²+bx+1(a,b為常數(shù)),x∈R,

F(x)=

(1)若f(-1)=0,且函數(shù)f(x)的值域為[0,+∞),求F(x)的表達式;

(2)在(1)的條件下,當x∈[-2,2]時,g(x)=f(x)-kx是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)k的取值范圍;

(3)設(shè)m·n<0,m+n>0,a>0且f(x)為偶函數(shù),證明F(m)+F(n)>0.

Answer 1

 (1)解:∵f(-1)=0,

∴a-b+1=0,a=b-1.

又x∈R,f(x)的值域為[0,+∞),

∴

∴b²-4(b-1)=0,b=2,a=1,

∴f(x)=x²+2x+1=(x+1)².

∴F(x)=

(2)解:g(x)=f(x)-kx

=x²+2x+1-kx

=x²+(2-k)x+1,

當≥2或≤-2時,

即k≥6或k≤-2時,g(x)在[-2,2]上是單調(diào)函數(shù).

故所求實數(shù)k的取值范圍為(-∞,-2]∪[6,+∞).

(3)證明:∵f(x)是偶函數(shù),

∴f(x)=ax²+1,F(x)=

∵m·n<0,不妨設(shè)m>n,

則n<0,

又m+n>0,m>-n>0,

∴m²>n²,

又a>0,

∴F(m)+F(n)=(am²+1)-an²-1

=a(m²-n²)>0.

命題得證.