Question

已知函數(shù)f(x)=-x²+2ex+t-1,g(x)=x+(x>0,其中e表示自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)若g(x)=m有零點(diǎn),求m的取值范圍;

(2)確定t的取值范圍,使得g(x)-f(x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根.

Answer 1

解:(1)法一　g(x)=x+≥2=2e,等號(hào)成立的條件是x=e.

故g(x)的值域是[2e,+∞),

因而只需m≥2e,

則g(x)=m就有零點(diǎn).

法二　解方程g(x)=m,

得x²-mx+e²=0.

此方程有大于零的根,故

等價(jià)于

故m≥2e.

即m的取值范圍為[2e,+∞).

(2)若g(x)-f(x)=0有兩個(gè)相異的實(shí)根,

即函數(shù)g(x)與f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),作出g(x)、f(x)的圖象.

∵f(x)=-x²+2ex+t-1

=-(x-e)²+t-1+e².

∴其對(duì)稱軸為x=e,開口向下,最大值為t-1+e².

故當(dāng)t-1+e²>2e,

即t>-e²+2e+1時(shí),g(x)與f(x)有兩個(gè)交點(diǎn),

即g(x)-f(x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根.

∴t的取值范圍是(-e²+2e+1,+∞).