Question

3．已知O是三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，滿足$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+m$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{4}{7}$，則實(shí)數(shù)m=（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 根據(jù)條件可以得出$-\frac{m}{3}\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$，并設(shè)$-\frac{m}{3}\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}$，這樣即可得出A，B，M三點(diǎn)共線，畫出圖形，并得到$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△ABC}}=\frac{m}{3+m}=\frac{4}{7}$，從而解出m的值．

解答 解：如圖，令$-\frac{m}{3}\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OM}$，則：
A，B，M三點(diǎn)共線；
$\overrightarrow{OC}$與$\overrightarrow{OM}$共線反向，$\frac{|\overrightarrow{OM}|}{|\overrightarrow{CM}|}=\frac{m}{3+m}$；
∴$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△ABC}}=\frac{|\overrightarrow{OM}|}{|\overrightarrow{CM}|}=\frac{m}{3+m}=\frac{4}{7}$；
解得m=4．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)乘運(yùn)算，A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件：$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，且x+y=1，共線向量基本定理，三角形的面積公式．