Question

13．已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₃=9，a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{b_n}滿足b_n=（a_n-1）2ⁿ，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件可知a₃²=a₁a₇，即（a₁+2d）²=a₁（a₁+6d），d和a₁的關(guān)系，S₃=3a₂，即可求得a₁和d，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，采用乘以公比“錯(cuò)位相減法”，即可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）等差數(shù)列{a_n}公差為d，首項(xiàng)為a₁，
∵a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列．
∴a₃²=a₁a₇，
即（a₁+2d）²=a₁（a₁+6d），
化簡(jiǎn)得d=$\frac{1}{2}$a₁，或d=0（舍去）．
當(dāng)d=$\frac{1}{2}$a₁，
由等差數(shù)列S₃=3a₂，
∴a₂=3，得a₁=2，d=1．
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+（n-1）=n+1，即a_n=n+1，
數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=n+1；
（2）由（1）可知：a_n=n+1，
b_n=（a_n-1）2ⁿ=（n+1-1）2ⁿ=n•2ⁿ，
∴b_n=n•2ⁿ，
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，T_n=2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
2T_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，
兩式相減：得-T_n=2+2²+2²+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹，
=2ⁿ⁺¹-2-n×2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查采用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于中檔題．