Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且2 f'（x）＜f （x）（x∈R），f（2）=e （e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則不等式f （lnx）＞x${\;}^{\frac{1}{2}}$的解集為（0，e²）．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)F（x），求出導(dǎo)數(shù)，判斷F（x）在R上的單調(diào)性．原不等式等價(jià)為F（lnx）＞F（2），運(yùn)用單調(diào)性，可得lnx＜2，運(yùn)用對(duì)數(shù)不等式的解法，即可得到所求解集．

解答 解：可構(gòu)造函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{\frac{x}{2}}}$，
F′（x）=$\frac{f′（x）-\frac{1}{2}f（x）}{{e}^{\frac{x}{2}}}$，
由2 f'（x）＜f （x），可得F′（x）＜0，即有F（x）在R上遞減，
不等式f（lnx）＞x${\;}^{\frac{1}{2}}$即為 $\frac{f（lnx）}{{e}^{\frac{lnx}{2}}}$＞1，（x＞0），
即有F（2）=$\frac{f（2）}{e}$=1，即為F（lnx）＞F（2），
由F（x）在R上遞減，可得lnx＜2，解得0＜x＜e²，
故答案為：（0，e²）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性，考查構(gòu)造法的運(yùn)用，以及單調(diào)性的運(yùn)用，對(duì)數(shù)不等式的解法．