Question

11．若函數(shù)f（x）=ax³-bx+4，當(dāng)x=2時，函數(shù)f（x）有極值-$\frac{4}{3}$．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-k有三個零點，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），利用x=2時，函數(shù)f（x）有極值，列出方程組求出a、b的值即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，求出f（x）的極值，結(jié)合函數(shù)的圖象即可得出g（x）=f（x）-k有三個零點時k的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=ax³-bx+4，∴f′（x）=3ax²-b；…（1分）
（1）由題意得，當(dāng)x=2時，函數(shù)f（x）有極值-$\frac{4}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（2）=0}\\{f（2）=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{12a-b=0}\\{8a-2b+4=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
故所求函數(shù)的解析式為f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4；…（6分）
（2）由（1）得f′（x）=x²-4=（x-2）（x+2），
令f′（x）=0，得x=2或x=-2；…（8分）
當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	圖象上升	$\frac{28}{3}$	圖象下降	-$\frac{4}{3}$	圖象上升

因此，當(dāng)x=-2時，f（x）有極大值$\frac{28}{3}$，
當(dāng)x=2時，f（x）有極小值-$\frac{4}{3}$，
故要使g（x）=f（x）-k有三個零點，
實數(shù)k的取值范圍為-$\frac{4}{3}$＜k＜$\frac{28}{3}$．…（12分）

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)的極值與函數(shù)零點的應(yīng)用問題，是綜合性題目．