Question

16．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＜n（n∈N^*，n≥2）”時，由n=k（k≥2）不等式成立，推證n=k+1時，左邊應(yīng)增加的項數(shù)是（　　）

• A． 2^k-1
• B． 2^k-1
• C． 2^k
• D． 2^k+1

Answer 1

分析 分別寫出n=k和n=k+1時，不等式左邊的所有項，根據(jù)分母特點計算多出的項數(shù)．

解答 解：n=k時，左邊=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$，
當n=k+1時，左邊=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$．
∴左邊增加的項數(shù)為2^k+1-1-（2^k-1）=2^k+1-2^k=2^k．
故選：C．

點評 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，屬于基礎(chǔ)題．