Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²-4在x=

1

2

處取得極值，若m，n∈[

1

4

，1]，則f（m）+f′（n）的最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先由函數(shù)f（x）=lnx+ax²-4在x=

1

2

處取得極值確定a，再分別求f（m），f′（n）的最大值．

解答： 解：f′(x)=

1

x

+2ax，
∵函數(shù)f（x）=lnx+ax²-4在x=

1

2

處取得極值，
∴f′(

1

2

)=2+a=0，
∴a=-2．
則f（x）=lnx-2x²-4，
f′（x）=

1

x

-4x=

(1+2x)(1-2x)

x

，
則f（x）在[

1

4

，

1

2

]上單調(diào)遞增，在[

1

2

，1]上單調(diào)遞減；
則f(m)max=f(

1

2

)=ln

1

2

-

1

2

-4，
又∵f′（x）在[

1

4

，1]上單調(diào)遞減，
∴f′(n)max=f′(

1

4

)=4-1=3，
∴f（m）+f′（n） 的最大值為：ln

1

2

-

1

2

-4+3=-ln2-

3

2

．
故答案為-ln2-

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查了學(xué)生在閉區(qū)間內(nèi)求最值的方法，特別注意的是m，n是無關(guān)的．