Question

16．如圖，為測(cè)不可到達(dá)的河北岸C，D兩點(diǎn)間的距離，在河南岸選取A，B兩點(diǎn)，測(cè)得AB=100m，α=β=30°，γ=45°，θ=75°，試求C，D間的距離．

Answer 1

分析 在三角形CAB中，利用勾正弦定理，求出BC的長(zhǎng)度，在三角形ABD中，求出BD的長(zhǎng)度，在三角形CBD中，利用余弦定理求出CD的長(zhǎng)度．

解答 解：∠CAB=60°，∠CBA=45°，∠ACB=75°
∴BC=$\frac{100sin60°}{sin75°}$=50（3$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$），
∠ADB=180°-∠DAB-∠DBA=180°-30°-105°=45°，
在△ADB中，∠DAB=30°，∠DBA=120°，∠ADB=30°
∴BD=AB=100m，
在△CBD中，CD²=BC²+BD²-2BC×BD×cos∠CBD
=[50（3$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$）]²+10000-2×50（3$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$）×100×$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$=40000-20000$\sqrt{3}$，
∴CD=10000（$\sqrt{3}$-1），
即C，D兩點(diǎn)之間的距離為10000（$\sqrt{3}$-1）米．

點(diǎn)評(píng) 本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，做這類是需要仔細(xì)觀察，要求的量需要在哪個(gè)三角形中求，又需要哪些量，這些量又應(yīng)該在哪些三角形中求，一一破解方可．