Question

1．已知球O的直徑PQ=4，A、B、C是球O球面上的三點(diǎn)，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°，則三棱錐P-ABC的體積為（　�。�

• A． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$
• B． 3
• C． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
• D． 6

Answer 1

分析 P在面ABC的投影O是△ABC的外心，且為球心，求出AB=2$\sqrt{3}$，AC=BC=$\sqrt{6}$，計(jì)算出錐體的體積即可．

解答 解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°
∴P在面ABC的投影O是△ABC的外心，且為球心，
∵PQ是直徑，
∴∠PCQ=90°．
∴PC=4cos30°=2$\sqrt{3}$，
∴PO=2$\sqrt{3}$•cos30°=3．
OC=2$\sqrt{3}$sin30°=$\sqrt{3}$
∴AB=2$\sqrt{3}$，AC=BC=$\sqrt{6}$．
三棱錐P-ABC體積=$\frac{1}{3}$PO•S_△ABC=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{6}$×$\sqrt{6}$×3=3．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三棱錐的體積公式的計(jì)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，利用三棱錐和球的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．