Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），O為坐標原點，P，Q為橢圓上兩動點，且OP⊥OQ．求：
（1）

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

；
（2）|OP|²+|OQ|²的最大值；
（3）S_△OPQ的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設出P，Q點的坐標，再設出PQ所在直線方程，聯立直線和橢圓方程，化為關于x的一元二次方程由根與系數關系得到P，Q兩點的橫縱坐標的和與積，結合OP⊥OQ得到點O到直線PQ的距離d=

|m|

1+k2

=

ab

a2+b2

為定值．
（1）直接通分后借助于

|m|

1+k2

=

ab

a2+b2

計算；
（2）由不等式的性質結合（1）的結論得答案；
（3）寫出S_△OPQ，然后利用基本不等式求最值．

解答： 解：設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵OP⊥OQ，
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
設PQ方程：y=kx+m，代入橢圓b²x²+a²y²=a²b²，
整理得：（a²k²+b²）x²+2kma²x+a²m²-a²b²=0．
∴x1+x2=-

2kma2

a2k2+b2

，x1x2=

a2m2-a2b2

a2k2+b2

．
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2．
∴

a2m2-a2b2

a2k2+b2

(1+k2)-

2k2m2a2

a2k2+b2

+m2=0．
化簡得：（a²+b²）m²=a²b²（1+k²）．

m2

1+k2

=

a2b2

a2+b2

．
即

|m|

1+k2

=

ab

a2+b2

．
∴點O到直線PQ的距離d=

|m|

1+k2

=

ab

a2+b2

為定值．
（1）

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

|OP|2+|OQ|2

|OP|2•|OQ|2

=

|PQ|2

|PQ|2•d2

=

1

d2

=

1

a2

+

1

b2

；

（2）由

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

≥

2

|OP|•|OQ|

，得：|OP|•|OQ|≥

2

1 |OP|2 + 1 |OQ|2

．
∴|OP|²+|OQ|²≥2|OP|•|OQ|≥

2

1 |OP|2 + 1 |OQ|2

=

4

1 a2 + 1 b2

=

4a2b2

a2+b2

；

（3）S_△OPQ=

1

2

|OP|•|OQ|≥

1

1 a2 + 1 b2

=

a2b2

a2+b2

．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關系，體現了數學轉化思想方法和設而不求的解題思想方法，涉及直線和圓錐曲線關系問題，常借助于一元二次方程的根與系數關系解題．是難度較大的題目．