Question

（本題滿分12分）某中學(xué)校本課程共開(kāi)設(shè)了共門(mén)選修課,每個(gè)學(xué)生必須且只能選修門(mén)選修課,現(xiàn)有該校的甲、乙、丙名學(xué)生.

（Ⅰ）求這名學(xué)生選修課所有選法的總數(shù)；

（Ⅱ）求恰有門(mén)選修課沒(méi)有被這名學(xué)生選擇的概率；

（Ⅲ）求選修課被這名學(xué)生選擇的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

Answer 1

（Ⅰ）64 ；（Ⅱ）；（Ⅲ）見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由分步計(jì)數(shù)原理得名學(xué)生選修課所有選法的總數(shù)為種；（Ⅱ）利用古典概型概率計(jì)算公式先求出事件所包含的基本事件個(gè)數(shù)，先從4門(mén)課程中選2門(mén)，其次從3名學(xué)生中選2人，再?gòu)乃�選2門(mén)課程中選1門(mén)共有種；（Ⅲ）求解離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟：①理解X的意義，寫(xiě)出X可能取的全部值；②求X取每個(gè)值的概率；③寫(xiě)出X的分布列；④利用期望定義得出

試題解析：（Ⅰ）每個(gè)學(xué)生有四個(gè)不同選擇,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,選法總數(shù) 2分

（Ⅱ）設(shè)“恰有門(mén)選修課沒(méi)有被這名學(xué)生選擇”為事件,則

,即恰有門(mén)選修課沒(méi)有被這名學(xué)生選擇的概率為. 5分

（Ⅲ）的所有可能取值為,且

, ,

, 9分

所以的分布列為

所以的數(shù)學(xué)期望. 12分

或:因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032206041964204901/SYS201503220604248297798488_DA/SYS201503220604248297798488_DA.028.png">選修課被每位學(xué)生選中的概率均為,沒(méi)被選中的概率均為.

所以的所有可能取值為,且,

, ,

, 9分

所以的分布列為

所以的數(shù)學(xué)期望. 12分

考點(diǎn)：古典概型、分布列、期望