Question

20．已知橢圓$E：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為$（{\frac{1}{2}，-1}）$，則直線l的一般方程為2x-8y-9=0．

Answer 1

分析 設(shè)以點(diǎn)P（$\frac{1}{2}$，-1）為中點(diǎn)的弦與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=1，y₁+y₂=-2，分別把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入橢圓方程$E：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，再相減可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，（x₁-x₂）-4（y₁-y₂）=0，k=-$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{1}{4}$

解答 解：設(shè)以點(diǎn)P（$\frac{1}{2}$，-1）為中點(diǎn)的弦與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=1，y₁+y₂=-2，
分別把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入橢圓方程$E：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，
再相減可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴（x₁-x₂）-4（y₁-y₂）=0，
k=-$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{1}{4}$
∴點(diǎn)P（$\frac{1}{2}$，-1）為中點(diǎn)的弦所在直線方程為y+1=$\frac{1}{4}$（x-$\frac{1}{2}$），
整理得：2x-8y-9=0．
故答案為：2x-8y-9=0．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓與直線的位置關(guān)系，點(diǎn)差法處理中點(diǎn)弦問題，屬于基礎(chǔ)題．