Question

12．已知關于x的方程x²+ax+2b=0（a∈R，b∈R）的一個根在區(qū)間（0，1）內，另一個根在區(qū)間（1，2）內，則$\frac{a-1}{b-3}$的取值范圍為（$\frac{2}{3}$，2）．

Answer 1

分析 設f（x）=x²+ax+2b，根據二次函數的性質與零點存在性定理可得f（0）＞0、f（1）＜0且f（2）＞0．由此建立關于a、b的二元一次不等式組，設點E（a，b）為區(qū)域內的任意一點，根據直線的斜率公式可得k=$\frac{b-3}{a-1}$，表示點E（a，b）與點D（1，3）連線的斜率，將點E在區(qū)域內運動并觀察直線的傾斜角的變化，算出k的取值范圍即可得出結論．

解答 解：設f（x）=x²+ax+2b，
∵方程x²+ax+2b=0的一個根在區(qū)間（0，1）內，另一個根在區(qū)間（1，2）內，
∴可得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=2b＞0}\\{f（1）=1+a+2b＜0}\\{f（2）=4+2a+2b＞0}\end{array}\right.$．
作出滿足上述不等式組對應的點（a，b）所在的平面區(qū)域，
得到△ABC及其內部，即如圖所示的陰影部分（不含邊界）．
其中A（-3，1），B（-2，0），C（-1，0），
設點E（a，b）為區(qū)域內的任意一點，
則k=$\frac{b-3}{a-1}$，表示點E（a，b）與點D（1，3）連線的斜率．
∵K_AD=$\frac{3-1}{1+3}$=$\frac{1}{2}$，k_CD=$\frac{3-0}{1+1}$=$\frac{3}{2}$，∴K_AD＜k＜K_CD，
∴k的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
則$\frac{a-1}{b-3}$的取值范圍為（$\frac{2}{3}$，2）
故答案為：（$\frac{2}{3}$，2）．

點評 本題著重考查了二次函數的性質、零點存在性定理、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域、直線的斜率公式與兩點間的距離公式等知識，屬于中檔題．