Question

4．對(duì)于任意角α和β，若滿足α+β=$\frac{π}{2}$，則稱α和β“廣義互余”．已知sin（π+θ）=-$\frac{1}{3}$，①sinγ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$；②cos（π+γ）=$\frac{1}{3}$；③tanγ=-2$\sqrt{2}$；④tanγ=$\frac{\sqrt{2}}{4}$
上述角γ中，可能與角θ“廣義互余”的是（　�。�

• A． ①②
• B． ②③
• C． ①③
• D． ②④

Answer 1

分析 ①由已知可得sin²γ+sin²（π+θ）=1，得：$\frac{π}{2}$+γ+θ+2kπ=0，或γ+θ+2kπ=$\frac{π}{2}$（k∈Z），即可判斷θ和γ可能是廣義互余；
②由于sinθ=sin（γ-$\frac{π}{2}$），解得γ-θ=2kπ-$\frac{π}{2}$，或γ+θ=2kπ+$\frac{3π}{2}$，即可得解θ和γ不可能是廣義互余；
③解得±sinθ=sin（$\frac{π}{2}$-γ），當(dāng)sinθ=sin（$\frac{π}{2}$-γ）時(shí)，可得θ=$\frac{π}{2}$-γ+2kπ，（k∈Z），可得a和β有可能是廣義互余；
④解得cos²γ+sin²θ=1，可得γ-θ=2kπ，可得γ和θ不可能是廣義互余．

解答 解：∵sin（π+θ）=-$\frac{1}{3}$，可得：sinθ=$\frac{1}{3}$，
∴①sin²γ+sin²（π+θ）=1，可得：$\frac{π}{2}$+γ+θ+2kπ=0，或γ+θ+2kπ=$\frac{π}{2}$（k∈Z），故θ和γ可能是廣義互余；
②cos（π+γ）=-cosγ=-sin（π+θ）=sinθ=sin（γ-$\frac{π}{2}$），
∴θ=γ-$\frac{π}{2}$+2kπ，或θ=π-（γ-$\frac{π}{2}$）+2kπ，（k∈Z），
∴γ-θ=2kπ-$\frac{π}{2}$，或γ+θ=2kπ+$\frac{3π}{2}$，（k∈Z），
α+β不可能等于90°，θ和γ不可能是廣義互余；
③當(dāng)tanγ=-2$\sqrt{2}$時(shí)，可得cosγ=±$\frac{1}{3}$=±sinθ=sin（$\frac{π}{2}$-γ），
當(dāng)sinθ=sin（$\frac{π}{2}$-γ）時(shí)，可得θ=$\frac{π}{2}$-γ+2kπ，（k∈Z），
可得a和β有可能是廣義互余；
④當(dāng)tanγ=$\frac{\sqrt{2}}{4}$時(shí)，cosγ=±$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，此時(shí)cos²γ+sin²θ=1，γ-θ=2kπ，（k∈Z），
∴γ和θ不可能是廣義互余．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的運(yùn)用，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了學(xué)生分析和解決問題的能力，屬于中檔題．