Question

已知函數(shù)f（x）在R上滿足

f(x)-f(-x)

2λ

=0（λ≠0），且對任意的實數(shù)x₁≠x₂（x₁＞0，x₂＞0）時，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，如果實數(shù)t滿足f（lnt）-f（1）≤f（1）-f（ln

1

t

），那么t的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知條件容易判斷出f（x）是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上為增函數(shù)，再根據(jù)對數(shù)的運算，從而可得到f（lnt）≤f（1），根據(jù)f（x）的奇偶性及單調(diào)性即可得到|lnt|≤1，從而根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解出該不等式即可．

解答： 解：根據(jù)已知條件及偶函數(shù)，增函數(shù)的定義可知：
f（x）是偶函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)；
∴由f（lnt）-f（1）≤f(1)-f(ln

1

t

)得：f（lnt）≤f（1）；
∴|lnt|≤1，-1≤lnt≤1；
∴

1

e

≤t≤e；
∴t的取值范圍為[

1

e

，e]．
故答案為：[

1

e

，e]．

點評：考查偶函數(shù)，增函數(shù)的定義，以及對數(shù)的運算，偶函數(shù)、增函數(shù)的運用，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式．