Question

18．某農(nóng)科所對(duì)冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：

日期	12月1日	12月2日	12月3日	12月4日	12月5日
溫差x（℃）	10	11	13	12	8
發(fā)芽數(shù)y（顆）	23	25	30	26	16

該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對(duì)被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)．
（1）求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天數(shù)據(jù)的概率．
（2）若選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehaty=bx+a$；假設(shè)由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（2）中所得的線性回歸方程是否可靠？
附：參考公式：b=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$．

Answer 1

分析 （1）求出抽到相鄰兩組數(shù)據(jù)的事件概率，利用對(duì)立事件的概率計(jì)算抽到不相鄰兩組數(shù)據(jù)的概率值；
（2）由表中數(shù)據(jù)，利用公式計(jì)算回歸直線方程的系數(shù)，寫出回歸直線方程，利用方程計(jì)算并判斷所得到的線性回歸方程是否可靠．

解答 解：（1）設(shè)抽到不相鄰兩組數(shù)據(jù)為事件A，因?yàn)閺?組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有10種情況，
每種情況都是等可能出現(xiàn)的，其中抽到相鄰兩組數(shù)據(jù)的情況有4種，
所以$P（A）=1-\frac{4}{10}=\frac{3}{5}$；
（2）由數(shù)據(jù)，求得$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（10+11+13+12+8）=10.8，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（23+25+30+26+16）=24；
由公式，求得
$\sum_{i=1}^{5}$（x_iy_i）=10×23+11×25+13×30+12×26+8×16=1335，
$\sum_{i=1}^{5}$${{x}_{i}}^{2}$=10²+11²+13²+12²+8²=598；
所以$\stackrel{∧}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$=$\frac{5}{2}$，
$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$=-3；
所以y關(guān)于x的線性回歸方程是$\overline y=\frac{5}{2}x-3$；
當(dāng)x=10時(shí)，$\widehaty=\frac{5}{2}×10-3=22$，|22-23|＜2；
同樣，當(dāng)x=8時(shí)，$\widehaty=\frac{5}{2}×8-3=17$，|17-16|＜2；
所以，該研究所得到的線性回歸方程是可靠的．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等可能事件的概率與回歸直線方程的應(yīng)用問題，也考查了計(jì)算能力的應(yīng)用問題，是綜合性題目．