Question

20．在正項數列{a_n}中，a₁=1，S_n是其前n項和，點A_n（$\sqrt{{S}_{n}}$，$\sqrt{{S}_{n-1}}$）（n＞1）在曲線x²-y²=n上，數列{b_n}的通項公式為b_n=3^n-1
（1）求數列{a_n}的通項公式
（2）設c_n=a_nb_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由點A_n（$\sqrt{{S}_{n}}$，$\sqrt{{S}_{n-1}}$）（n＞1）在曲線x²-y²=n上，代入即可求得a_n=S_n-S_n-1=n，當n=1時，a₁=1，即可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）可知：c_n=a_nb_n=n•3^n-1，利用“錯位相減法”即可求得數列{c_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）由點A_n（$\sqrt{{S}_{n}}$，$\sqrt{{S}_{n-1}}$）（n＞1）在曲線x²-y²=n上，
∴S_n-S_n-1=n，
則a_n=S_n-S_n-1=n，
當n=1時，a₁=1，
∴數列{a_n}的通項公式a_n=n；
（2）由（1）可知：a_n=n，b_n=3^n-1，
則c_n=a_nb_n=n•3^n-1，
數列{c_n}的前n項和T_n，T_n=1•3⁰+2•3+3•3²+…+n•3^n-1，①
3T_n=1•3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，②
①-②，得：-2T_n=1+3+3²+3³+…+3^n-1-n•3ⁿ，
=1+$\frac{3（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-n•3ⁿ，
=$\frac{（1-2n）•{3}^{n}}{2}$-$\frac{1}{2}$，
∴T_n=$\frac{（2n-1）•{3}^{n}}{4}$+$\frac{1}{4}$，
數列{c_n}的前n項和T_n，T_n=$\frac{（2n-1）•{3}^{n}}{4}$+$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查數列的遞推公式，考查數列通項公式的求法，考查“錯位相減法”求數列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．