Question

8．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+{3}^{x}（x≤0）}\\{\frac{1}{3}{x}^{3}-4x+a（x＞0）}\end{array}\right.$在定義域上恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． 0＜a＜$\frac{16}{3}$
• B． a＜$\frac{16}{3}$
• C． a＜0或a＞$\frac{16}{3}$
• D． a≤$\frac{16}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性畫(huà)出函數(shù)的圖象，及題意其定義域R上有3個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)f（x）在（-1，0）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間（0，+∞）上必須有2個(gè)零點(diǎn)，
 即可求出a的取值范圍．

解答 解：①當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x+3^x．
∵函數(shù)y=x與y=3^x在x≤0時(shí)都單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）=x+3^x在區(qū)間（-∞，0]上也單調(diào)遞增，又f（-1）=-$\frac{2}{3}＜0$，f（0）=1＞0，
所以函數(shù)f（x）在（-1，0）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，如圖所示．
②當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}-4x+a..（x＞0）$，∴f′（x）=x²-4=（x+2）（x-2）．
令f′（x）=0，且x＞0，解得x=2．
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＞0．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞減；在區(qū)間（2，+∞）上單調(diào)遞增．
∴函數(shù)f（x）在x=2時(shí)求得極小值，也即在x＞0時(shí)的最小值．
∵函數(shù)f（x）在其定義域R上有3個(gè)零點(diǎn)，且由（1）可知在區(qū)間（-1，0）內(nèi)已經(jīng)有一個(gè)零點(diǎn)了，所以在區(qū)間（0，+∞）上必須有2個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上只有1個(gè)零點(diǎn)，
∴必須滿(mǎn)足a＞0且f（2）＜0，解得0＜a$＜\frac{16}{3}$
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)零點(diǎn)判定定理，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題