Question

12．已知a，b∈R，函數(shù)f（x）=ln（x+1）-2在x=-$\frac{1}{2}$處于直線y=ax+b-ln2相切，設(shè)g（x）=e^x+bx²+a，若在區(qū)間[1，2]上，不等式m≤g（x）≤m²-2恒成立，則實(shí)數(shù)m（　�。�

• A． 有最小值-e
• B． 有最小值e
• C． 有最大值e
• D． 有最大值e+1

Answer 1

分析 求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，結(jié)合函數(shù)f（x）=ln（x+1）-2在x=-$\frac{1}{2}$處于直線y=ax+b-ln2相切，可得b=-1，a=2，求出g（x）的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，可得最值，解不等式即可得到m的最值．

解答 解：由f（x）=ln（x+1）-2，得f′（x）=$\frac{1}{x+1}$，
∵函數(shù)f（x）=ln（x+1）-2在x=-$\frac{1}{2}$處于直線y=ax+b-ln2相切，
∴a=f′（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{-\frac{1}{2}+1}=2$，f（-$\frac{1}{2}$）=ln$\frac{1}{2}$-2=$-\frac{1}{2}×2+b-ln2$，
則a=2，b=-1，
∴g（x）=e^x-x²+2，令h（x）=g′（x）=e^x-2x，
∴h′（x）=e^x-2，在[1，2]上h′（x）＞0恒成立，即h（x）在[1，2]上遞增，
即g′（x）在[1，2]上遞增，則有g(shù)′（x）≥g′（1）=e-2＞0，
則g（x）在[1，2]上遞增，∴g（1）最小，g（2）最大，
不等式m≤g（x）≤m²-2恒成立，即有$\left\{\begin{array}{l}{m≤g（1）=e+1}\\{{m}^{2}-2≥g（2）={e}^{2}-2}\\{m≤{m}^{2}-2}\end{array}\right.$，
解得m≤-e或e≤m≤e+1．即m的最大值為e+1．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．