Question

18．在某項(xiàng)娛樂(lè)活動(dòng)的海選過(guò)程中評(píng)分人員需對(duì)同批次的選手進(jìn)行考核并評(píng)分，并將其得分作為該選手的成績(jī)，成績(jī)大于等于60分的選手定為合格選手，直接參加第二輪比賽，不超過(guò)40分的選手將直接被淘汰，成績(jī)?cè)冢?0，60）內(nèi)的選手可以參加復(fù)活賽，如果通過(guò)，也可以參加第二輪比賽．
（1）已知成績(jī)合格的200名參賽選手成績(jī)的頻率分布直方圖如圖，估計(jì)這200名參賽選手的成績(jī)平分?jǐn)?shù)和中位數(shù)；
（2）根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)，參加復(fù)活賽的選手能夠進(jìn)入第二輪比賽的概率如表：

參賽選手成績(jī)所在區(qū)間	（40，50]	（50，60）
每名選手能夠進(jìn)入第二輪的概率	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$

假設(shè)每名選手能否通過(guò)復(fù)活賽相互獨(dú)立，現(xiàn)有4名選手的成績(jī)分別為（單位：分）43，45，52，58，記這4名選手在復(fù)活賽中通過(guò)的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)先求出a，由此能估計(jì)這200名參賽選手的成績(jī)平均數(shù)和中位數(shù)；
（2）根據(jù)題意知，成績(jī)?cè)冢?0，50]，（50，60）內(nèi)選手分別有2名和2名，隨機(jī)變量X的取值為0，1，2，3，4．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由10（0.01+0.02+0.03+a）=1，解得：a=0.04，
平均數(shù)$\overline{x}$=10×（65×0.01+75×0.04+85×0.02+95×0.03）=82，
由圖可知：前兩個(gè)矩形面積之和為0.5，
∴中位數(shù)為80；
（2）由題意可知：成績(jī)?cè)冢?0，50]，（50，60）內(nèi)選手各由兩名，
則隨機(jī)變量X的取值為0，1，2，3，4，
P（X=0）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{36}$，
P（X=1）=${C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×${C}_{2}^{1}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，
P（X=2）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$+${C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×${C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{13}{36}$，
P（X=3）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×${C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$+${C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=4）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{9}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{36}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{13}{36}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{9}$

∴X數(shù)學(xué)期望E（X）=0×$\frac{1}{36}$+1×$\frac{1}{6}$+2×$\frac{13}{36}$+3×$\frac{1}{3}$+4×$\frac{1}{9}$=$\frac{7}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖的性質(zhì)及應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，在歷年高考中都是必考題型之一，屬于中檔題．