Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知是橢圓上的一點(diǎn)，從原點(diǎn)向

圓作兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)在第一象限，且直線互相垂直，求圓的方程；

（2）若直線的斜率存在，并記為，求的值；

（3）試問(wèn)是否為定值？若是，求出該值；若不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）由圓的方程可知，圓的半徑，，由此可求出圓的方程；（2）由已知得直線和都與圓相切，化簡(jiǎn)可得，再利用點(diǎn)在橢圓上，即可求解的值；（3）當(dāng)直線不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)，利用直線方程與橢圓的方程聯(lián)立方程組，得出，同理，由此可求解為定值．

試題解析：（1）由圓的方程知圓的半徑，因?yàn)橹本�，互相垂直，且和圓相切，所以，即 ①

又點(diǎn)在橢圓上，所以 ②

聯(lián)立①②，解得，所以，所求圓的方程為．

（2）因?yàn)橹本�和都與圓相切，所以，，化簡(jiǎn)得，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即，所以．

（3）方法一（1）當(dāng)直線，不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)，，

由（2）知，所以，故．因?yàn)?/span>，在橢圓上，所以，，

即，，所以，

整理得，所以

所以．

方法（二）（1）當(dāng)直線，不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)，，

聯(lián)立，解得，，所以，

同理，得．由（2），得，

所以

．

（2）當(dāng)直線，落在坐標(biāo)軸上時(shí)，顯然有．

綜上：．