Question

已知二次函數(shù)y=f（x）滿足f（x+2）=f（2-x），且f（0）=3，f（5）=8，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并求此函數(shù)在[2，4]上的最大值與最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先根據(jù)條件求出對(duì)稱軸為2，再設(shè)出解析式，根據(jù)條件列出方程組，求得即可，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出最值．

解答： 解：∵二次函數(shù)y=f（x）滿足f（x+2）=f（2-x），
∴函數(shù)的對(duì)稱軸為x=2，
設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-2）²+b，
∵f（0）=3，f（5）=8，
∴

a(0-2)2+b=3 a(5-2)2+b=8

解得

a=1 b=-1

∴y=（x-2）²-1，
∵x∈[2，4]，
∴函數(shù)在[2，4]遞增，
∴當(dāng)x=2是函數(shù)有最小值，最小值為-1，當(dāng)x=4時(shí)有最大值，最大值為3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵，以及有二次函數(shù)在某個(gè)區(qū)間的最值問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．