Question

（Ⅰ）解不等式：|3x-1|≤2；
（Ⅱ）設(shè)a，b，c∈R⁺，求證：

a2+b2

+

b2+c2

+

c2+a2

≥

2

（a+b+c））．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）|3x-1|≤2，等價(jià)于-2≤3x-1≤2，由此求得不等式的解集．
（Ⅱ）由于條件利用基本不等式證得

a2+b2

≥

2

2

（a+b），同理可得+

b2+c2

≥

2

2

（b+c），

c2+a2

≥

2

2

（a+c），再利用不等式的性質(zhì)證得要證的結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）|3x-1|≤2，等價(jià)于-2≤3x-1≤2，等價(jià)于-1≤3x≤3，
求得-

1

3

≤x≤1，可得不等式的解集為：{x|-

1

3

≤x≤1 }．
（Ⅱ）證明：由于a，b，c∈R⁺，a²+b²≥2ab，∴2（a²+b²）≥a²+b²+2ab=（a+b）²，
即：

a2+b2

≥

2

2

（a+b）．
同理可得+

b2+c2

≥

2

2

（b+c），

c2+a2

≥

2

2

（a+c），
因此：：

a2+b2

+

b2+c2

+

c2+a2

≥

2

（a+b+c）成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．