Question

定義符合函數(shù)sgnx=

1，x＞0 0，x=0 -1，x＜0

，設(shè)函數(shù)f（x）=

sgn(1-x)+1

2

f₁（x）+

sgn(x-1)+1

2

f₂（x），x∈（0，2），其中f₁（x）=2^x，f₂（x）=-2x+4，若f（f（a））∈（0，1），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、（0，log₂

  3

  2

  ）
• B、（

  5

  4

  ，2）
• C、（0，log₂

  3

  2

  ）∪（

  5

  4

  ，2）
• D、（log₂

  3

  2

  ，1）∪（1，

  5

  4

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對(duì)不等式分類討論，即1＜x＜2，x=1，0＜x＜1，分別求出f（x），然后由f（f（a））∈（0，1），即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：對(duì)不等式分類討論，即1＜x＜2，x=1，0＜x＜1，分別求出f（x），然后由f（f（a））∈（0，1）
①如果1＜x＜2，f（x）=

sgn(1-x)+1

2

f₁（x）+

sgn(x-1)+1

2

f₂（x）=-2x+4；
②如果x=1時(shí)，f（x）=

sgn(1-x)+1

2

f₁（x）+

sgn(x-1)+1

2

f₂（x）=2．
③如果當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=

sgn(1-x)+1

2

f₁（x）+

sgn(x-1)+1

2

f₂（x）=2^x．
綜上所述：f（x）=

2x，0＜x＜1 2，x=1 -2x+4，1＜x＜2

，
其圖象如圖所示：

若f（f（a））∈（0，1），
則f（a）∈（

3

2

，2），
則a∈（log₂

3

2

，1）∪（1，

5

4

），
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的解析式．